第五章：形式逻辑初步5（1 / 2）
5.1 逻辑学：直言命题及其推理
在探讨逻辑学的深邃领域时，我们难免会触及那些看似抽象却蕴含无限智慧的概念与原理。直言命题及其推理，正是这样一组既基础又关键的逻辑工具。它们如同构建知识殿堂的基石，为我们理解世界、分析问题提供了有力的逻辑支撑。下面，让我们以一颗平和而谦逊的心，一同踏上这段探索之旅。
一、直言命题概述
直言命题，又称为性质命题，是逻辑学中最简单、最基本的命题形式。它直接陈述一个事物的性质或事物之间的关系，无需借助其他命题或条件来推导。直言命题通常由主项（S）、谓项（P）、联项（是或不是）以及量项（所有或部分）四个要素构成。
1. 主项（S）：表示所陈述的事物的概念或个体。例如，“所有人”中的“人”，“有些花”中的“花”。
2. 谓项（P）：表示事物所具有的性质或关系。例如，“所有人”中的“都是平等的”，“有些花”中的“是红色的”。
3. 联项：表示主项与谓项之间的逻辑关系。常用的联项有“是”和“不是”。
4. 量项：表示主项的范围或数量。常用的量项有“所有”和“有些”。
根据量项和联项的不同组合，直言命题可以分为四种基本类型：全称肯定命题（A命题）、全称否定命题（E命题）、特称肯定命题（I命题）和特称否定命题（O命题）。
? 全称肯定命题（A命题）：形式为“所有S都是P”。例如，“所有人都是平等的”。
? 全称否定命题（E命题）：形式为“所有S都不是P”。例如，“所有动物都不是植物”。
? 特称肯定命题（I命题）：形式为“有些S是P”。例如，“有些花是红色的”。
? 特称否定命题（O命题）：形式为“有些S不是P”。例如，“有些书不是小说”。
二、直言命题的真假判断
直言命题的真假取决于主项、谓项以及它们之间的逻辑关系是否符合客观事实。在判断直言命题的真假时，我们需要依据具体的知识和经验进行推理。
? 对于全称肯定命题（A命题），如果主项所代表的所有个体都具有谓项所描述的性质，则该命题为真；否则为假。
? 对于全称否定命题（E命题），如果主项所代表的所有个体都不具有谓项所描述的性质，则该命题为真；否则为假。
? 对于特称肯定命题（I命题），如果主项所代表的个体中至少有一个具有谓项所描述的性质，则该命题为真；否则为假。
? 对于特称否定命题（O命题），如果主项所代表的个体中至少有一个不具有谓项所描述的性质，则该命题为真；否则为假。
三、直言命题的推理规则
直言命题的推理规则是逻辑学中用于推导新命题或判断命题间关系的原则。这些规则基于直言命题的基本类型和它们之间的逻辑关系。
1. 换质推理：通过改变直言命题的谓项，并同时改变联项，从而得到一个新命题的推理方法。
? 全称肯定命题（A命题）换质后变为全称否定命题（E命题）的否定形式，即“有些非P不是S”（但通常表述为“所有P都是S的逆否命题”，即“所有非S都不是P”）。
? 全称否定命题（E命题）换质后变为全称肯定命题（A命题）的否定形式，即“所有非P都是S”（但通常表述为“所有S都不是P的逆否命题”，即“所有P都不是S”）。
? 特称肯定命题（I命题）换质后变为特称否定命题（O命题）的否定形式，即“有些非P不是非S”（但通常简化为“有些非P是S”）。
? 特称否定命题（O命题）换质后变为特称肯定命题（I命题）的否定形式，即“有些非P是S”（但注意这与原O命题直接换质后的表述相同，因此特称命题的换质推理更多用于与其他推理结合）。
2. 换位推理：通过交换直言命题的主项和谓项的位置，并适当调整量项和联项，从而得到一个新命题的推理方法。
? 全称肯定命题（A命题）不能直接换位为全称肯定命题，但可以换位为特称肯定命题（I命题），即“有些P是S”。
? 全称否定命题（E命题）可以直接换位为全称否定命题，即“所有P都不是S”。
? 特称肯定命题（I命题）和特称否定命题（O命题）一般不能直接换位为有效的全称命题，但可以换位为其他形式的特称命题（这取决于具体的逻辑关系和语境）。
3. 三段论推理：由两个直言命题作为前提，推导出一个新的直言命题作为结论的推理方法。三段论推理必须遵循以下规则：
? 前提必须真实：即作为推理起点的两个直言命题必须是真实的。
? 中项必须周延：在三段论中，连接两个前提的中间概念（中项）至少在一个前提中是周延的（即其全部外延都被涉及）。
? 结论不能超出前提的范围：即结论中的主项和谓项必须分别包含在前提的主项和谓项之中，不能引入新的概念或关系。
? 结论必须真实：在前提真实且推理规则正确的前提下，结论也必须是真实的。
四、直言命题推理的应用实例
直言命题及其推理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是一些具体的实例：
1. 日常生活中的应用：
? 在日常交流中，我们经常会用到直言命题来表达观点或判断事实。例如，“所有人都应该遵守法律”就是一个全称肯定命题。
? 在进行逻辑推理时，我们也会用到直言命题的推理规则来推导结论。例如，“如果所有人都会死，那么我也会死”（这里涉及到了全称肯定命题的演绎推理）。
2. 科学研究中的应用：
? 在数学中，直言命题及其推理被用于定义和证明定理。例如，“所有偶数都能被2整除”就是一个全称肯定命题，它可以作为证明其他数学定理的前提。
? 在逻辑学中，直言命题及其推理是研究其他更复杂逻辑形式的基础。例如，模态逻辑、时态逻辑等都是在直言逻辑的基础上发展起来的。
? 在哲学中，直言命题及其推理被用于探讨事物的本质和属性以及它们之间的关系。例如，“所有存在的事物都有其本质属性”就是一个关于事物本质的直言命题。
五、直言命题推理的局限性与拓展
尽管直言命题及其推理在逻辑学中占有重要地位，但它们也具有一定的局限性。例如，直言命题只能陈述事物的性质或关系，而不能描述事物的变化或发展；直言推理主要基于形式逻辑的规则进行推导，有时可能忽略了实际情境中的复杂性和多样性。
为了克服这些局限性，逻辑学家们不断对直言命题及其推理进行拓展和完善。一方面，他们引入了更多的逻辑形式和推理规则来处理更复杂的问题；另一方面，他们也尝试将直言逻辑与其他学科相结合，以形成更加综合和实用的知识体系。
六、结语
直言命题及其推理是逻辑学中的基础内容，它们为我们提供了一种清晰、准确的表达观点和推导结论的方式。通过深入学习和理解直言命题的基本类型和推理规则，我们可以更好地运用逻辑工具来分析问题、解决问题，并在日常生活中做出更加明智的决策。同时，我们也应该认识到直言命题及其推理的局限性，并不断探索和拓展新的逻辑形式和推理方法以适应更加复杂多变的世界。
在结束这段探索之旅时，我想用一句话来概括直言命题及其推理的重要性：“直言命题是逻辑之基，推理规则是智慧之光。”愿我们都能在这束光芒的照耀下，不断前行、不断成长。
5.2 逻辑学：选言命题及其推理
选言命题，又称为析取命题，是反映事物的若干种情况或性质中至少有一种情况或性质存在的命题。根据选言支之间是否具有并存关系，选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题。
5.2.1 选言命题概述
一、什么是选言命题
在日常生活和工作中，我们常常需要对某些事物的若干种可能情况做出断定。例如：
（1）这个三角形要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。
（2）这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。
（3）这个学生要么考上了大学，要么没有考上大学。
上述三个例子都是对事物的若干种可能情况做出断定的命题，都是选言命题。
选言命题是反映事物的若干种情况或性质中至少有一种情况或性质存在的命题。
二、选言命题的结构
从结构上看，选言命题由逻辑联结词“或者”连接支命题而成。选言命题的支命题称为选言支。
在逻辑学中，通常用大写字母P、Q、R等表示支命题，用“P或者Q”“P或者Q或者R”等表示选言命题。
在汉语表达中，除了“或者”以外，也可以用“要么……要么……”“不是……就是……”等联结词来表示选言命题。
三、选言命题的种类
根据选言支之间是否具有并存关系，选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题。
1. 相容选言命题
相容选言命题是指断定事物的若干种可能情况或性质中至少有一种情况或性质存在，并且允许同时存在的选言命题。
例如，“这个三角形要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。”这个命题断定了一个三角形三种可能的情况中至少有一种情况存在，这三种情况也可能同时存在（如一个三角形不可能同时是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，但这里的断定是对于三角形的分类来说的，一个三角形必然属于这三种三角形中的一种或几种的分类情况，而事实上只属于其中一种，但逻辑上允许这种“并存”的可能性），因此是相容选言命题。
相容选言命题的逻辑形式是：P或者Q或者R……
在日常语言中，表达相容选言命题的联结词通常有“或者”“或者……或者……”“也可能……也可能……”“至少……之一”等。
2. 不相容选言命题
不相容选言命题是指断定事物的若干种可能情况或性质中有且只有一种情况或性质存在的选言命题。
例如，“这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。”这个命题断定比赛的结果只有两种可能，且这两种可能中只有一种能够实现，因此是不相容选言命题。
不相容选言命题的逻辑形式是：要么P，要么Q。
在日常语言中，表达不相容选言命题的联结词通常有“要么……要么……”“不是……就是……”等。
5.2.2 相容选言推理
一、什么是相容选言推理
根据相容选言命题的逻辑性质进行的推理叫相容选言推理。
相容选言推理的前提是一个相容选言命题，它断定在事物的若干种可能情况或性质中至少有一种情况或性质存在，结论则是肯定或否定其中的某些情况或性质。
二、相容选言推理的规则
1. 肯定部分选言支的推理规则
在相容选言推理中，如果肯定相容选言命题的部分选言支，那么结论不能否定其他选言支。这是因为相容选言命题断定的是若干种可能情况或性质中至少有一种情况或性质存在，允许同时存在多种情况或性质。
相容选言推理肯定部分选言支的正确形式为：
P或者Q或者R……
Q（Q是P、Q、R中的某个选言支）
所以，Q（或P、Q、R中的某些选言支可能为真，但不能断定其他选言支为假）。
例如：
这个学生或者考取了北京大学，或者考取了清华大学，或者考取了中国科技大学，或者考取了复旦大学。
他考取了中国科技大学。
所以，他考取了中国科技大学（但不能断定他没有考取其他大学）。
2. 否定部分选言支的推理规则
在相容选言推理中，如果否定相容选言命题的部分选言支，那么结论可以肯定其他选言支中的至少一个为真，但不能断定其他选言支一定为真。
相容选言推理否定部分选言支的正确形式为：
P或者Q或者R……
非Q（Q是P、Q、R中的某个选言支）
所以，P或者R或者……（除Q以外的其他选言支中至少有一个为真，但不能断定具体是哪个为真）。
例如：
这个学生或者考取了北京大学，或者考取了清华大学，或者考取了中国科技大学，或者考取了复旦大学。
他没有考取北京大学。
所以，他考取了清华大学或者中国科技大学或者复旦大学（但不能断定他一定考取了这三所大学中的哪一所）。
三、相容选言推理的错误
在相容选言推理中，常见的错误是：
1. 肯定部分选言支而否定其他选言支
这种错误在于违反了相容选言命题的逻辑性质，即相容选言命题允许同时存在多种情况或性质，肯定部分选言支不能否定其他选言支。
例如：
这个学生或者考取了北京大学，或者考取了清华大学，或者考取了中国科技大学，或者考取了复旦大学。
他考取了中国科技大学。
所以，他没有考取北京大学、清华大学和复旦大学。（错误）
2. 否定部分选言支而肯定其他选言支
这种错误在于虽然否定了部分选言支可以推出其他选言支中至少有一个为真，但不能断定具体是哪个为真，而错误地肯定了某个具体的选言支。
例如：
这个学生或者考取了北京大学，或者考取了清华大学，或者考取了中国科技大学，或者考取了复旦大学。
他没有考取北京大学。
所以，他一定考取了清华大学。（错误）
5.2.3 不相容选言推理
一、什么是不相容选言推理
根据不相容选言命题的逻辑性质进行的推理叫不相容选言推理。
不相容选言推理的前提是一个不相容选言命题，它断定在事物的若干种可能情况或性质中有且只有一种情况或性质存在，结论则是肯定或否定其中的某一个选言支。
二、不相容选言推理的规则
1. 肯定选言支的推理规则
在不相容选言推理中，如果肯定不相容选言命题的某个选言支，那么可以否定其他选言支。这是因为不相容选言命题断定的是若干种可能情况或性质中有且只有一种情况或性质存在，肯定其中一个选言支就意味着否定了其他所有选言支。
不相容选言推理肯定选言支的正确形式为：
要么P，要么Q
P（或Q）
所以，非Q（或非P）。
例如：
这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。
中国队获得了冠军。
所以，韩国队没有获得冠军。
2. 否定选言支的推理规则 在不相容选言推理中，如果否定不相容选言命题的某个选言支，那么可以肯定其他选言支。这也是因为不相容选言命题断定的是若干种可能情况或性质中有且只有一种情况或性质存在，否定其中一个选言支就意味着肯定了其他所有选言支中的一个（因为只有一种情况或性质存在）。